30-åringen Linette har aldrig tidigare tagit sig förbi den tredje omgången i Australian Open under sina sex tidigare försök.
Efter en timme och 57 minuter stod det klart att hon besegrat Caroline Garcia i raka set och tagit sig vidare till sin första kvartsfinal i Melbourne.
– Jag kan fortfarande inte tro det, jag vet inte vad som hände, säger Linette.
– Jag är mållös, verkligen. Jag vet inte vad jag ska säga.
I kvartsfinalen kommer hon att möta tjeckiskan Karolina Pliskova, som besegrade kinesiska Zhang Shuai med 6-0, 6-4 på måndagen.
Kroatiskan Donna Vekic besegrade också tjeckiskan Linda Fruhvirtova med 6–2, 1–6, 6–3.
Även Aryna Sabalenka från Belarus är vidare till sin första kvartsfinal i Australian Open, efter att ha besegrat schweiziska Belinda Bencic i raka set med 7–5, 6–2.
– Jag är supernöjd med vinsten i dag, säger Sabalenka, som nådde semifinal i US Open förra säsongen.
Det tog den femteseedade belarusiskan en timme och 27 minuter att slå ut Bencic, som var seedad som nummer 12.
– Hon är en otrolig spelare. Hon spelade så bra. Jag är riktigt nöjd med nivån i dag, säger Sabalenka om motståndet från Bencic.
Både toppseedade Iga Swiatek och tvåan Ons Jabeur har slagits ut, vilket lämnar tredjeseedade Jessica Pegula som högst rankad till kvartsfinalerna.