Mittbacken Harry Maguire blev stor matchhjälte när han kastade sig fram och tryckte dit det avgörande målet i den 118:e matchminuten, bara ett par minuter från straffläggning på Carrow Road.
Efter en mållös första halvlek hade Odion Ighalo gett United ledningen sex minuter in i andra. Nigerianens femte mål på sina blott fyra starter för klubben, alla i cupspel.
Norwichs Todd Cantwell kvitterade för hemmalaget med kvarten kvar av ordinarie speltid och matchen gick till förlängning, där Norwich spelade med en man mindre sedan schweizaren Timm Klose fått rött kort i 89:e minuten. I förlängningen var alltså bortalaget United starkast och är nu vidare till FA-cupsemifinal tack vare Maguires sena 2–1-mål.
Svenske landslagsförsvararen Victor Nilsson Lindelöf, som för drygt en vecka sedan klev av skadad i ligamötet med Tottenham (1–1) men spelade i 3–0-segern mot Sheffield United i onsdags, fanns inte med i Uniteds matchtrupp.
På söndag spelas övriga tre kvartsfinaler i herrarnas FA-cup: Sheffield United–Arsenal, Leicester–Chelsea och Newcastle–Manchester City. Då lottas även semifinalerna som avgörs 18–19 juli.
Finalen är planerad att spelas på Wembley i London den 1 augusti.