Den tyske anfallaren har skrivit på ett kontrakt med mästarklubben som sträcker sig till 2025.
24-årige Sané kom till Manchester City 2016 från Schalke och har bland annat vunnit två ligatitlar med Premier League-klubben.
Affären skulle egentligen ha blivit klar för ett år sedan, men knäskadan som höll Sané borta från spel under en längre tid satte stopp för affären då.
Övergångssumman ryktas ligga på cirka 50 miljoner euro, ungefär 524 miljoner kronor, enligt tyska tidningen Bild.
"Han kommer att börja förbereda sig för nästa säsong i München från och med nästa vecka", skriver Bayern München i ett uttalande.